概率论知识总结

时间:2020-11-15 19:18:16 学习总结 我要投稿

概率论知识总结

  概率是生活中经常会用到的知识,在考试中也经常会遇到,下面概率论知识总结是小编想跟大家分享的,欢迎大家浏览。

概率论知识总结

  概率论知识总结

  第一章 概率论的基本概念

  1. 随机试验

  确定性现象:在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。

  随机现象: 在个别实验中呈现不确定性,在大量实验中呈现统计规律性,这种现象称

  为随机现象。

  随机试验:为了研究随机现象的统计规律而做的的实验就是随机试验。

  随机试验的特点:1)可以在相同条件下重复进行;

  2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能

  结果;

  3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会先出现;

  2. 样本空间、随机事件

  样本空间:我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为S。 样本点:构成样本空间的元素,即E中的每个结果,称为样本点。

  事件之间的基本关系:包含、相等、和事件(并)、积事件(交)、差事件(A-B:包含A

  不包含B)、互斥事件(交集是空集,并集不一定是全集)、对立

  事件(交集是空集,并集是全集,称为对立事件)。

  事件之间的运算律:交换律、结合律、分配率、摩根定理(通过韦恩图理解这些定理)

  3. 频率与概率

  频数:事件A发生的次数

  频率:频数/总数

  概率:当重复试验的次数n逐渐增大,频率值就会趋于某一稳定值,这个值就是概率。 概率的特点:1)非负性。2)规范性。3)可列可加性。

  概率性质:1)P(空集)=0,2)有限可加性,3)加法公式:P(A+B)=P(A)+P(B)

  -P(AB)

  4. 古典概型

  学会利用排列组合的知识求解一些简单问题的概率(彩票问题,超几何分布,分配问题,

  插空问题,捆绑问题等等)

  5. 条件概率

  定义:A事件发生条件下B发生的概率P(B|A)=P(AB)/P(A)

  乘法公式:P(AB)=P(B|A)P(A)

  全概率公式与贝叶斯公式

  6. 独立性检验

  设 A、B是两事件,如果满足等式

  P(AB)=P(A)P(B)

  则称事件A、B相互独立,简称A、B独立。

  第二章.随机变量及其分布

  1. 随机变量

  定义:设随机试验的样本空间为S={e}. X=X(e)是定义在样本空间S上的单值函数,称

  X=X(e)为随机变量。

  2. 离散型随机变量及其分布律

  三大离散型随机变量的分布

  1)(0——1)分布。E(X)=p, D(X )=p(1-p)

  2)伯努利试验、二项分布 E(X)=np, D(X)=np(1-p)

  3) 泊松分布 P(X=k)= (?^k)e^(- ?)/k! (k=0,1,2,……)

  E(X)=?,D(X)= ?

  注意:当二项分布中n 很大时,可以近似看成泊松分布,即np= ?

  3. 随机变量的分布函数

  定义:设X是一个随机变量,x是任意的实数,函数

  F(x)=P(X≤x),x属于R 称为X的分布函数

  分布函数的性质:

  1) F(x)是一个不减函数

  2) 0≤F(x)≤1

  离散型随机变量的分布函数的求法(由分布律求解分布函数)

  连续性随机变量的分布函数的求法(由分布函数的图像求解分布函数,由概率密度求

  解分布函数)

  4. 连续性随机变量及其概率密度

  连续性随机变量的分布函数等于其概率密度函数在负无穷到x的变上限广义积分 相反密度函数等与对应区间上分布函数的导数

  密度函数的性质:1)f(x)≥0

  2) 密度函数在负无穷到正无穷上的广义积分等于1

  三大连续性随机变量的分布: 1)均与分布 E(X)=(a+b)/2 D (X)=[(b-a)^2]/12

  2)指数分布 E(X)=θ D(X)=θ^2

  3)正态分布一般式(标准正态分布)

  5. 随机变量的函数的分布

  1)已知随机变量X的 分布函数求解Y=g(X)的分布函数

  2)已知随机变量X的 密度函数求解Y=g(X)的密度函数

  第三章 多维随机变量及其分布(主要讨论二维随机变量的分布)

  1.二维随机变量

  定义 设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x, y,二元函数

  F(x, Y)=P[(X≤x)交(Y≤y)] 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或称为随机变量联合分布函数

  离散型随机变量的分布函数和密度函数

  连续型随机变量的分布函数和密度函数

  重点掌握利用二重积分求解分布函数的.方法

  2.边缘分布

  离散型随机变量的边缘概率

  连续型随机变量的边缘概率密度

  3.相互独立的随机变量

  如果X,Y相互独立,那么X,Y的联合概率密度等于各自边缘的乘积

  5. 两个随机变量的分布函数的分布

  关键掌握利用卷积公式求解Z=X+Y的概率密度

  第四章.随机变量的数字特征

  1.数学期望

  离散型随机变量和连续型随机变量数学期望的求法

  六大分布的数学期望

  2.方差

  连续性随机变量的方差

  D(X)=E(X^2)-[E (X )]^2

  方差的基本性质:

  1) 设C是常数,则D(C)=0

  2) 设X随机变量,C是常数,则有

  D(CX)=C^2D(X)

  3) 设X,Y是两个随机变量,则有

  D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))} 特别地,若X,Y不相关,则有D(X+Y)=D(X)+ D(Y) 切比雪夫不等式的简单应用

  3. 协方差及相关系数

  协方差:Cov(X ,Y )= E{(X-E(X))(Y-E(Y))}

  相关系数:m=Cov(x,y)/√D(X) √D(Y)

  当相关系数等于0时,X,Y 不相关,Cov(X ,Y )等于0 不相关不一定独立,但独立一定不相关

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